MATE AVANZADA: 2010

sábado

DERIVADAS PARCIALES (según wikipedia)

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

$\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}$

(donde $\partial$ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi')

Cuando una magnitud

A

es función de diversas variables (

x

y

z

...

), es decir:

$A = f\left(x,y,z,...\right)$

Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función

A

paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Supón que ƒ es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

$f(x, y) = x^2 + xy + y^2.\,$

Un gráfico de z = x² + xy + y². Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

$\frac{\part z}{\part x} = 3$

en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r).

Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

$V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

$\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}$

Otro ejemplo, dada la función $F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

$F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,$

la derivada parcial de

F

respecto de

x

es :

$\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = 9x^2y + 4xy^2$

(recordar que "y" es constante)

mientras que con respecto de

y

es:

$\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7$

(recordar que "x" es constante)

Definición formal

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

O visto respecto a la derivada direccional:

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{\overrightarrow{x_0}}) = D_{\vec{v}}f\left(\overrightarrow{x_0}\right)=\underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left(\overrightarrow{x_0}\right)}{t}$ donde $\vec{v}$ es el vector unitario del eje respecto al que se deriva ( $x i$ ).

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C¹.

Notación

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.

Derivadas parciales de primer orden:

$\frac{\part f}{\part x} = f'_x = \part_x f$

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

$\frac{\part^2 f}{\part x^2} = f''_{xx} = \part_{xx} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y^2} = f''_{yy} = \part_{yy} f,$

Derivadas cruzadas de segundo orden:

$\frac{\part^2 f}{\part x\part y} = f''_{xy} = \part_{xy} f, \qquad \frac{\part^2 f}{\part y\part x} = f''_{yx} = \part_{yx} f,$

Derivadas parciales de orden superior

A su vez, la derivada parcial $\part_{x_i} f$ puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C²; en este caso, las derivadas parciales (llamadas cruzadas) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwartz.

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.$

En R², si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

$\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = f_{yx}$

martes

SALUDOS INICIALES

Hola, aún sin hacer nada (es broma).

Pensamos (EN PLURAL, soy más de uno) que quizá tendrían algunas dudas acerca de las materias relacionadas a matemática, así que nos planteamos algunas preguntas hipotéticas para intentar ayudarles un poco a aclarar cuestiones de este tipo ahora que aún hay tiempo para continuar en carrera. Si tienen otras preguntas (o respuestas mejores que éstas) pueden agregarlas a esta entrada como comentario, nosotros intentaremos contestarlas de la mejor manera posible.

¿Qué hago si no me gusta la matemática para nada, pero necesito aprobarla?

- La verdad es que uno no nace sabiendo, pero se aprende de a poco ,lo que pasa es que hay que aprender a relacionar los temas anteriores con los nuevos, hay que practicar continúamente, no sólo leyendo se aprende, no es como historia. Además de ponerle interés aunque sea para aprobarla, aunque no sea un buen motivo pero piensa que si la apruebas ahora después no de preocuparas en llevarla de nuevo. LO IMPORTANTE NO ES DARSE POR VENCIDO, estudiar sólo o en grupo (aunque sea de dos). Nadie dijoque sería fácil.
2. ¿ Qué hago, si me gusta la matemática, pero trato y trato pero no entiendo nada?
- Lo cierto es que la práctica hace al maestro, pero trata de revisar la bibliografía recomendada, primero prueba estudiando sólo. Pero si sigue habiendo dudas, habrá siempre cerca, docentes y/o ayudantes a los cuales puedes recurrir. Establece un horario de estudio, después de clases , toma nota de lo que entendiste y de lo que no, pero no lo dejes en suspenso, puede que se te olvide para la siguiente. si ya sabes el temario porque no te adelantas, lo importante no es copiar sino entender lo que se resolvió en la pizarra. La cuestión es entender los conceptos principales para luego aplicarlos es como saber las reglas de juego, con esto verás que todo lo complicado es pura apariencia.
3. ¿Qué hago si siento que éste no es mi lugar?

A veces pasa que uno siente que no pertenece a algún sitio o algún grupo. Con el paso del tiempo puede suceder que las cosas mejoren o que el sentimiento se agudice. De cualquier forma nadie puede saber de antemano si es mejor para nosotros seguir o cambiar de camino. Sólo uno puede decidir, pero lo mejor es que lo haga de manera informada y sin precipitarse. (¡Qué bueno sería que todos encontráramos nuestro verdadero sitio!) Si sientes que no eres de aquí sería bueno que pensaras si se trata de cuestiones que pueden arreglarse o se trata de otras más profundas, puede ser que seguir aquí sea bueno para ti o tal vez haya algo mejor. Sin embargo, las respuestas no te van a llegar por arte de magia, tienes que buscar. siempre habrá alguien a quien puedas contarle y que te escuche. Si decides quedarte, pues síguele, y si no, pues de todas formas eres bienvenido para cuando decidas pasar de nuevo por aquí . La idea es que tu paso por aquí (por la Universidad), tan corto o tan largo como sea, no sea algo traumático en el mal sentido, sino que lo disfrutes y lo recuerdes con agrado. Y si algo no te gusta, pues siempre se puede luchar para cambiarlo.

Bueno aprovecha mejor tus aptitudes.

Richard Choque y algunos amigos de la UNAM (en serio, algunas de sus ideas están aquí).

PD.Un recuerdo del mes de Agosto, cuando empezó el semestre (Google cuando no) :

y otro del mes de Septiembre, reconocen lo que está escrito?

lunes

FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).

La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

Se clasifican como escalares y vectoriales.

A su vez, de variable escalar y vectorial.
Una función escalar de variable escalar es del tipo: y = f(x)
Una función escalar de variable vectorial es del tipo: f = f(x,y,z)

TEMAS DEL SEGUNDO PARCIAL : CÁLCULO 2 Y ALGEBRA LINEAL

bueno ya sabemos que en Cálculo:

- El segundo parcial es sobre derivadas parciales y sus aplicaciones

¿Qué hay que saber? Claro primero dominar la tabla de derivadas, tienen una tabla gigantesca frente a Uds, pero hay que saber como usarla especialmente en los casos de aplicar LA REGLA DE LA CADENA.
¿qué más? Claro que Algebra, eso significa que hay que factorizar y simplificar y...
BIBLIOGRAFÍA:
- CÁLCULO II. Chungara
- TÓPICOS DE CÁLCULO. Mitacc Meza.
- ANÁLISIS MATEMÁTICO. Espinoza Ramos.
- CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Edwards - Penney.
Después, en Algebra Lineal:

- El segundo parcial es sobre espacios vectoriales, subespacios, combinación lineal, independencia lineal, bases, producto interior

BIBLIOGRAFÍA:

Álgebra lineal. Chungara. Vega.

Álgebra lineal.Fraleigh.

Álgebra lineal. Lipschutz.

Álgebra y trigonometría con geometría analítica.Swokowsky

Álgebra lineal. Anton

Álgebra y trigonometría.Zill & Dewar